ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79400
Тема:    [ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 3+
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рассматривается функция y = f (x), определённая на всём множестве действительных чисел и удовлетворяющая для некоторого числа k ≠ 0 соотношению f (x + k) . (1 − f (x)) = 1 + f (x). Доказать, что f (x) — периодическая функция.

Решение

Из условия следует равенство f (х + k) = $ {\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}$. Тогда f (x + 2k) = − $ {\frac{1}{f(x)}}$; f (x + 4k) = − $ {\frac{1}{f(x)+2k}}$ = f (x). Значит, f (x) — периодическая функция с периодом 4k.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 44
Год 1981
вариант
Класс 10
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .