Задача 79401

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4- Классы: 11

Условие

Дан многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если x – целое число, то P(x) – целое число, кратное p
(p – натуральное число). Доказать, что n! делится на p.

Решение

Рассмотрим многочлены  P₁(х) = P(х) – P(х – 1),  P₂(х) = P₁(x) − P₁(х – 1),  ...,  P_i(х) = P_i–1(х) − P_i–1(х – 1),  ...,  P_n(х) = P_n–1(х) − P_n–1(х – 1).  Степень многочлена P_i(х) равна  n − i  (см. задачу 61433) и и P_i(x) при любом целом x делится на p. Но  P_n(х) = n!  (см. задачу 61437), и поэтому n! кратно p.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	44
Год	1981
вариант
Класс	10
задача
Номер	2