В городе 10 улиц, параллельных друг другу, и 10 улиц, пересекающих их под прямым углом. Какое наименьшее число поворотов может иметь замкнутый автобусный маршрут, проходящий через все перекрестки?

   Решение

Окружность S касается окружностей S₁ и S₂ в точках A₁ и A₂; B — точка окружности S, а K₁ и K₂ — вторые точки пересечения прямых A₁B и A₂B с окружностями S₁ и S₂. Докажите, что если прямая K₁K₂ касается окружности S₁, то она касается и окружности S₂.

   Решение

Тема:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 3 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

В квадрате ABCD находятся 5 точек. Доказать, что расстояние между какими-то двумя из них не превосходит AC.

Решение

Проведя через центр квадрата прямые, параллельные его сторонам, разрежем квадрат на 4 одинаковых квадрата. Какие-то 2 из 5 точек лежат в одном из этих квадратов, и расстояние между ними не превосходит длины диагонали этого квадрата.

Источники и прецеденты использования