Задача 79417

Темы:    [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 10

Условие

На плоскости отмечены точки с целочисленными координатами. Доказать, что найдётся окружность, внутри которой лежат ровно 1982 отмеченные точки.

Решение

Легко видеть, что точка A(;) удалена от всех узлов квадратной решётки на различные расстояния. Измерим расстояния от A до всех узлов решётки и расположим их по порядку: R₁ < R₂ <...< R₁₉₈₂ < R₁₉₈₃ <.... Тогда окружность с центром в точке A и произвольным радиусом R, где R₁₉₈₂ < R < R₁₉₈₃, содержит внутри себя ровно 1982 узла решётки.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	45
Год	1982
вариант
Класс	9
задача
Номер	3