Задача 79429

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Существует ли пятиугольник со сторонами 3, 4, 9, 11 и 13 см, в который можно вписать окружность?

Решение

Ответ: не существует. Докажем это. Предположим, что такой пятиугольник ABCDE существует. Без ограничения общности можно считать, что |AB| = 3. Пусть A₁ — точка касания вписанной окружности и стороны AB. Точки B₁, C₁, D₁ и E₁ определяются аналогично. Из равенства длин касательных следует, что 2|AA₁| = |AB| + |EA| + |CD| − |BC| − |DE| и 2|A₁B| = |AB| + |BC| + |DE| − |CD| − |AE|. Обозначив x = |EA| + |CD| − |BC| − |DE|, получим 2|AA₁| = |AB| + x, 2|A₁B| = |AB| − x. Так как |AA₁| > 0 и |A₁B| > 0, то 3 = |AB| > |x|. С другой стороны, если числа |EA|, |CD|, |BC|, |DE| равны 4, 9, 11, 13 в каком-то порядке, то |x| не может быть меньше трёх. Следовательно, такого пятиугольника не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	46
Год	1983
вариант
Класс	7
задача
Номер	5