ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79431
Темы:    [ Векторы ]
[ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 3+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах треугольника ABC вне его построены правильные треугольники ABC1, BCA1 и CAB1. Доказать, что $ \overrightarrow{AA_1}$ + $ \overrightarrow{BB_1}$ + $ \overrightarrow{CC_1}$ = $ \overrightarrow{0}$.

Решение

Заметим, что $ \overrightarrow{AA_1}$ = $ \overrightarrow{AC}$ + $ \overrightarrow{CA_1}$, $ \overrightarrow{BB_1}$ = $ \overrightarrow{BA}$ + $ \overrightarrow{AB_1}$, $ \overrightarrow{CC_1}$ = $ \overrightarrow{CB}$ + $ \overrightarrow{BC_1}$, (таким образом, стороны треугольника ABC ориентированы против часовой стрелки). Сложив эти равенства, получим:

$\displaystyle \overrightarrow{AA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CC_1}$ = ($\displaystyle \overrightarrow{AC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BA}$) + ($\displaystyle \overrightarrow{AB_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BC_1}$).

Сумма векторов в первой скобке равна 0, а каждый вектор во второй скобке получается из соответствующего вектора первой скобки поворотом его на 60o по часовой стрелке; отсюда следует, что и вторая сумма равна 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 46
Год 1983
вариант
Класс 8
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .