Информация о задаче

Задача 79431

Темы:	[	Векторы	]
Темы:	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]

Сложность: 3+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах треугольника ABC вне его построены правильные треугольники ABC₁, BCA₁ и CAB₁. Доказать, что $\overrightarrow{AA_1}$ + $\overrightarrow{BB_1}$ + $\overrightarrow{CC_1}$ = $\overrightarrow{0}$ .

Решение

Заметим, что $\overrightarrow{AA_1}$ = $\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{CA_1}$ , $\overrightarrow{BB_1}$ = $\overrightarrow{BA}$ + $\overrightarrow{AB_1}$ , $\overrightarrow{CC_1}$ = $\overrightarrow{CB}$ + $\overrightarrow{BC_1}$ , (таким образом, стороны треугольника ABC ориентированы против часовой стрелки). Сложив эти равенства, получим:

$\displaystyle \overrightarrow{AA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CC_1}$ = ( $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ ) + ( $\displaystyle \overrightarrow{AB_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BC_1}$ ).

Сумма векторов в первой скобке равна 0, а каждый вектор во второй скобке получается из соответствующего вектора первой скобки поворотом его на 60^o по часовой стрелке; отсюда следует, что и вторая сумма равна 0.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	46
Год	1983
вариант
Класс	8
задача
Номер	2