Задача 79431

Темы:    [ Векторы ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Условие

На сторонах треугольника ABC вне его построены правильные треугольники ABC₁, BCA₁ и CAB₁. Доказать, что + + = .

Решение

Заметим, что = + , = + , = + , (таким образом, стороны треугольника ABC ориентированы против часовой стрелки). Сложив эти равенства, получим:

+ + = ( + + ) + ( + + ).

Сумма векторов в первой скобке равна 0, а каждый вектор во второй скобке получается из соответствующего вектора первой скобки поворотом его на 60^o по часовой стрелке; отсюда следует, что и вторая сумма равна 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	46
Год	1983
вариант
Класс	8
задача
Номер	2