Информация о задаче

Задача 79459

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

Существует ли три ненулевые цифры, с помощью которых можно составить бесконечное число десятичных записей квадратов различных целых чисел?

Решение

Ответ: да, существуют. Например, подходят цифры 1, 5, 6. Действительно, докажем, что $\underbrace{3\dots3}_{{\rm $n$\ троек}}^{}\,$ = $\underbrace{1\dots1}_{{\rm $n+1$\ единица}}^{}\,$ . Заметим для этого, что $\underbrace{3\dots3}_{{\rm $n$\ троек}}^{}\,$ · 3 = $\underbrace{0\dots0}_{{\rm $n$\ нулей}}^{}\,$ . Воспользовавшись тождеством n² = 1 + (n − 1)(n + 1), получим

= 1 +

· 3 ·

= 1 +

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	47
Год	1984
вариант
Класс	9
задача
Номер	5