|
|
 |
Условие
Три гнома живут в разных домах на плоскости и ходят со скоростями 1, 2 и 3 км/ч соответственно. Какое место для ежедневных встреч нужно им выбрать, чтобы сумма времён, необходимых каждому из гномов на путь от своего дома до этого места (по прямой), была наименьшей?
Решение
Обозначим искомое место встречи гномов буквой A, а дома занумеруем цифрами 1, 2, 3 в соответствии с величинами скоростей гномов. Расстояния между домом 1 и домами 2 и 3 обозначим через а и b, а расстояния от точки A до домов 1, 2, 3 – через x, y и z соответственно. Тогда a/2 ≤ x/2 + y/2,
b/3 ≤ x/3 + z/3, откуда a/2 + b/3 ≤ x/2 + y/2 + x/3 + z/3 ≤ x + y/2 + z/3, причём равенство достигается при х = 0. Левая часть – это сумма времён, которая требуется гномам, чтобы дойти до дома 1, а правая – сумма времён, которая требуется, чтобы дойти до точки A, поэтому минимум достигается, когда точка A совпадает с домом 1.
Ответ
Дом первого гнома.
