Задача 79496

Темы:    [ Гомотетия и поворотная гомотетия (прочее) ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Из точки M по плоскости с постоянной скоростью ползёт муравей. Его путь представляет собой спираль, которая наматывается на точку O и гомотетична некоторой своей части относительно этой точки. Сможет ли муравей пройти весь свой путь за конечное время?

Решение

Муравей проходит весь путь по спирали от M до O за конечное время. Действительно, если коэффициент гомотетии k < 1, а первый виток муравей проходит за время t, то на остальные витки он потратит время kt, k²t, k³t, ...; поэтому время на весь путь равно t (1 + k + k² + ...) = .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	49
Год	1986
вариант
Класс	9
задача
Номер	2