Условие
Биссектриса угла A треугольника ABC продолжена до пересечения в D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что
AD > 1/2 (AB + AC).
Решение
Введём обозначения: AB = a, AC = b, AD = l,
C = α,
B = β, d — диаметр описанной вокруг треугольника ABC окружности. По теореме синусов длина хорды равна произведению диаметра окружности на синус половины дуги, на которую эта хорда опирается. Поскольку
AB = 2α,
AC = 2β,
AD = π − α + β, то
a = d sin α,
b = d sin β,
l = d sin
= d cos
.
Из неравенства d cos > 
(d sin α + d sin β)
и следует требуемое утверждение. (Разность между левой и правой частями последнего неравенства равна
d(sin (α/2)- cos (β/2))(sin (β/2) - cos (α/2)) > 0.)
Источники и прецеденты использования
