ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79503
Темы:    [ Неравенства с векторами ]
[ Скалярное произведение ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что ни для каких векторов a, b, c не могут одновременно выполняться три неравенства

|a| < |bc|,  |b| < |ca|,  |c| < |ab|.


Решение

Возведём данные неравенства в квадрат и почленно сложим их все (учитывая, что для произвольного вектора , ||2 = · = x2):

3(||2 + ||2 + ||2) < 2(||2 + ||2 + ||2) − 2( . + . + . ),

откуда (a + b + с)2 < 0 — противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 49
Год 1986
вариант
Класс 10
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .