Задача 79503

Темы:    [ Неравенства с векторами ] [ Скалярное произведение ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Докажите, что ни для каких векторов a, b, c не могут одновременно выполняться три неравенства

|a| < |b − c|,  |b| < |c − a|,  |c| < |a − b|.

Решение

Возведём данные неравенства в квадрат и почленно сложим их все (учитывая, что для произвольного вектора , ||² = · = x²):

3(||² + ||² + ||²) < 2(||² + ||² + ||²) − 2( ^. + ^. + ^. ),

откуда (a + b + с)² < 0 — противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	49
Год	1986
вариант
Класс	10
задача
Номер	4