Условие
По поляне, имеющей форму равностороннего треугольника со стороной 100 м, бегает
волк. Охотник убивает волка, если стреляет в него с расстояния не более 30 м.
Доказать, что охотник может убить волка, как бы быстро тот ни бегал.
Решение
Опишем, как может действовать охотник, чтобы наверняка убить волка. Пусть он
сначала встанет в центр треугольника. Отрезки, соединяющие центр треугольника с
серединами его сторон, делят треугольник на три четырёхугольника. Пусть
A —
вершина треугольника, лежащая в той из этих частей, в которой находится волк.
Пусть теперь охотник пойдёт напрямую к этой вершине и, когда волк окажется от
него на расстоянии не более 30 м, выстрелит.
Докажем, что, действуя таким образом, охотник всегда сможет убить волка.
Действительно, расстояние от центра правильного треугольника до середины стороны
равно радиусу вписанной в него окружности:
r = 50/
< 30. Следовательно, в
каждый момент времени расстояние от охотника до сторон, содержащих вершину
A,
не превосходит 30 м, а значит, волк не сможет выбежать из четырёхугольника,
образованного сторонами треугольника, содержащими вершину
A и
перпендикулярами, опущенными из точки, в которой находится охотник, на эти
стороны. Таким образом, охотник всегда сможет убить волка.
Источники и прецеденты использования
