|
|
 |
Условие
Пусть AB — основание трапеции ABCD. Доказать, что если
AC + BC = AD + BD, то
трапеция ABCD — равнобокая.
Решение
Пусть точка D1 симметрична точке D относительно серединного перпендикуляра к основанию AB. Требуется доказать, что точка D1 совпадает с C. Предположим, что D1 ≠ C. Пусть, например, точка O1 лежит между C и D (остальные случаи рассмативаются аналогично). Рассмотрим точку B1, симметричную точке B относительно прямой CD. Точка D1 лежит внутри треугольника ACB1, поэтому AD1 + B1D1 < AC + CB1. Действительно, пусть луч AD1 пересекает сторону CB1 в точке D2. Тогда AD1 + D1D2 < AC + CD2 и B1D1 < D1D2 + D2B1. Сложив эти неравенства, получим требуемое. Ясно, что AD1 + B1D1 = BD + AD и AC + CB1 = AC + CB, поэтому AD + BD < AC + CB. Приходим к противоречию.
