Задача 79513

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

В выпуклом пятиугольнике ABCDE углы при вершинах B и D – прямые,  ∠BCA = ∠DCE,  а точка M – середина стороны AE. Доказать, что  MB = MD.

Решение

Пусть P – середина диагонали AC, Q – середина диагонали CE. Тогда  BP = PA = MQ  и  PM = QE = QD.  Кроме того,  ∠APM = ∠MQE  и
∠BPA = ∠EQD,  поэтому  ∠BPM = ∠MQD.  Следовательно, треугольники BPM и MQD равны, а значит,  BM = MD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	50
Год	1987
вариант
Класс	8
задача
Номер	4