Задача 79525
|
|
 |
Условие
Докажите, что при простых p > 7 число p4 − 1 делится на 240.
Решение
p4 − 1 = (p² − 1)(p² + 1). В задаче 30378 а) доказано, что p² − 1 делится на 24. Кроме того, p² + 1 чётно,
а (p² − 1)(p2 + 1) ≡ (p² − 1)(p² – 4) = (p − 2)(p – 1)(p + 1)(p + 2) (mod 5). Из пяти последовательных чисел p − 2, p – 1, ..., p + 2 одно делится на 5, и это – не p. Поэтому p4 − 1 делится на 5·2·24 = 240.
Замечания
Конечно, утверждение верно и при p = 7.
