Задача 79533

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами.
Докажите, что произведение этих чисел не может оканчиваться на 1988.

Решение

Квадрат целого числа не может оканчиваться на 8, поэтому достаточно доказать, что произведение рассматриваемых чисел является квадратом целого числа. Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются в точке P. Тогда  S_ADP : S_ABP = DP : BP = S_CDP : S_BCP,  поэтому
S_ADPS_BCP = S_ABPS_CDP.  Следовательно,  S_ABPS_BCPS_CDPS_ADP = (S_ADPS_BCP)².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	51
Год	1988
вариант
Класс	9
задача
Номер	1