Задача 79554
|
|
 |
Условие
В пространстве имеются четыре различные прямые, окрашенные в два цвета: две
красные и две синие, причём любая красная прямая перпендикулярна любой синей
прямой. Докажите, что либо красные, либо синие прямые параллельны.
Решение
Фиксируем в пространстве точку O и проведём прямые OA и OB, параллельные красным прямым и прямые OC и OD, параллельные синим прямым. Если красные прямые не параллельны, то прямые OA и OB различны. Так как прямая OC перпендикулярна прямым OA и OB, то она перпендикулярна плоскости OAB. Аналогично получаем, что прямая OD перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, в силу единственности перпендикуляра к плоскости, прямые OC и OD совпадают, а значит, синие прямые параллельны.
