Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
В результате измерения четырёх сторон и одной из диагоналей некоторого четырёхугольника получились числа: 1; 2; 2,8; 5; 7,5. Чему равна длина измеренной диагонали?
Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 секунд и затратил 25 секунд, чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.
Моторная лодка в 9 часов отправилась вверх по течению реки, и в момент её отправления с лодки был брошен в реку мяч. В 9:15 лодка повернула и поплыла по течению. В котором часу лодка догонит мяч, если известно, что её собственная скорость оставалась неизменной?
Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 м от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?
При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x2 + 2ax + 2a2 + 4a + 3 = 0 является наибольшей? Чему равна эта сумма? (Корни рассматриваются с учётом кратности.)
В четырёх заданных точках на плоскости расположены прожекторы, каждый из которых может освещать прямой угол. Стороны этих углов могут быть направлены на север, юг, запад или восток. Доказать, что эти прожекторы можно направить так, что они осветят всю плоскость.
Какое наименьшее число точек можно выбрать на окружности длины 1956 так, чтобы для каждой из этих точек нашлась ровно одна выбранная точка на расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2 (расстояния измеряются по окружности)?
Требуется заполнить числами квадратную таблицу из n×n клеток так, чтобы сумма чисел на каждой из 4n – 2 диагоналей равнялась 1. Можно ли это сделать при
а) n = 55?
б) n = 1992?
|
|
 |
Условие
Требуется заполнить числами квадратную таблицу из n×n клеток так, чтобы сумма чисел на каждой из 4n – 2 диагоналей равнялась 1. Можно ли это сделать при
а) n = 55?
б) n = 1992?
Решение
Докажем, что описанным в условии способом таблицу можно заполнить тогда и только тогда, когда число n нечётно.
Пусть сначала число n = 2k чётно. Раскрасим таблицу в шахматном порядке так, чтобы клетка Раскрасим таблицу в шахматном порядке так, чтобы клетка (1, 1) была чёрной. Найдём сумму чисел в чёрных клетках двумя способами: первый раз, группируя слагаемые по диагоналям, параллельным диагонали (1, 1) – (n, n), и второй раз, группируя слагаемые по диагоналям, параллельным диагонали (1, n) – (n, 1). В первом случае получим n – 1, а во втором – n. Противоречие.
Ниже приведён пример таблицы 5×5 с нужными свойствами. Аналогично строится таблица n×n для любого нечётного n (при n = 1 достаточно поставить в единственную клетку число 1).
Ответ
а) Можно; б) нельзя.
