|
|
 |
Условие
Внутри тетраэдра расположен треугольник, проекции которого на 4 грани
тетраэдра имеют площади P1, P2, P3, P4. Докажите, что а) в
правильном тетраэдре P1 ≤ P2 + P3 + P4; б) если S1, S2, S3, S4
— площади соответствующих граней тетраэдра, то P1S1 ≤ P2S2 + P3S3 + P4S4.
Решение
Заметим сначала, что задача а) является частным случаем задачи б). Поэтому мы
будем решать задачу б). Пусть vi — вектор, перпендикулярный i-й грани тетраэдра, направленный внутрь тетраэдра и равный по модулю площади этой грани, p — вектор, перпендикулярный плоскости данного треугольника и равный по модулю его площади (один из двух). Тогда, по формуле для площади проекции многоугольника,
PiSi = |(p, vi)|.
Лемма. v1 + v2 + v3 + v4 = 0.
Доказательство. Пусть v — некоторый вектор единичной длины, α — перпендикулярная ему плоскость. Тогда число
(v, v1 + v2 + v3 + v4) равно сумме площадей проекций граней тетраэдра на плоскость α, где площадь берётся со знаком "+", если при проекции ориентация не меняется и со знаком "−" в противном случае. А эта сумма площадей равна нулю. Следовательно, для любого вектора v число
(v, v1 + v2 + v3 + v4) равно нулю. А значит, v1 + v2 + v3 + v4 = 0.
Следовательно,
P1S1 = |(p, v1)| = |(p, v2) + (p, v3) + (p, v3)| ≤ |(p, v2)| + |p, v3)| + |(p, v3)| = P2S2 + P3S3 + P4S4, что и требовалось доказать.
