|
|
 |
Условие
Доказать, что найдётся число вида
а) 1989...19890...0 (несколько раз повторено число 1989, а затем стоит несколько нулей), делящееся на 1988;
б) 1988...1988, делящееся на 1989.
Решение
а) Рассмотрим числа 1989, 19891989, ..., 19891989...1989 (в последнем числе 1989 повторено 1989 раз). Рассмотрим остатки от деления этого числа на 1988, так как остатков меньше, чем написанных чисел, то обязательно найдутся два числа с равными остатками (принцип Дирихле) и, следовательно, их разность будет делится на 1988. Если первое число содержит в своей записи n чисел 1989, а второе – m чисел 1989, то их разность будет записана с помощью n – m чисел 1989 и 4m нулей.
б) Строим последовательность чисел как и в случае а), но вместо 1989 берём 1988. В итоге получим число вида
19881988....198800..0 = 19881988...1988·10...0, которое делится на 1989, но это означает, что первый множитель делится на 1989.
Источники и прецеденты использования
| кружок | |
| Место проведения | МЦНМО |
| класс | |
| Класс | 7 |
| год | |
| Год | 2004/2005 |
| занятие | |
| Номер | 8 |
| Название | Принцип Дирихле |
| Тема | Принцип Дирихле |
| задача | |
| Номер | 8.2 |
