Выбрана 1 задача 
Версия для печати
Убрать все задачи
Убрать все задачи
Решите ребус 250*ЛЕТ+МГУ=2005*ГОД. (Разными буквами обозначены разные цифры, а одинаковыми - одинаковые; при этом некоторыми буквами могут быть обозначены уже имеющиеся цифры 2, 5 и 0.)
а) Найдите хотя бы одно решение ребуса;
б) Докажите, что других решений нет.
Задача 86098
|
|
 |
Условие
Решите ребус 250*ЛЕТ+МГУ=2005*ГОД. (Разными буквами обозначены разные цифры, а одинаковыми - одинаковые; при этом некоторыми буквами могут быть обозначены уже имеющиеся цифры 2, 5 и 0.)
а) Найдите хотя бы одно решение ребуса;
б) Докажите, что других решений нет.
Решение
|
1) Заметим, что при Л<7 левая часть не превосходит 250*800+1000=201000, а правая не меньше 2005*102=204510. Значит, Л=8 или Л=9.
|
Л = 8; 9
|
|
2) Если ГОД>124, то число в правой части не меньше 2005*124=248620, а в левой части - не больше 250*987+1000=247750. Значит, ГОД<123 и Г=1, а потому О=0 или О=2.
|
Г=1
О=0; 2 |
|
3) Выражение в правой части и число 250 делятся на 5, поэтому либо У=5, либо У=0. Покажем, что второй случай невозможен. В самом деле, если У=0, то правая часть оканчивается нулём и потому чётна, а значит, Д чётно. При этом О=2 (так как О не равно 0), и минимальное значение Д равно 4, то есть ГОД>124. Это противоречит пункту 2). Значит, У=5, откуда следует, что Д нечётно.
|
У=5
Д=2k+1 |
|
4) Для цифры Д есть всего 3 значения: Д=3, Д=7, и Д=9. Рассмотрим остатки от деления на 50 выражений в левой и правой частях. Слева будет остаток 15 (так как Г=1 и У=5), значит, он должен быть таким же справа, что возможно лишь при Д=3.
|
Д=3
|
|
5) Определим значение О. Допустим, что О = 0. Тогда справа получаем 2005*103=206515, а значит, цифра Т чётна (иначе в разряде десятков слева не получится единицы). Тогда ЛЕТ>824, а М>6 (остальные цифры заняты), и правая часть окажется меньше левой. Значит, О=2.
|
О=2
|
|
6) Имеем ГОД=123. Случай Л=8 не годится (слишком мало), остаётся Л=9. По тем же соображениям Е>8, а так как цифра 9 занята, то Е=8. Далее легко видеть, что Т=4 и М=6.
|
Л=9
Е=8 |
Примечание. Вполне возможны и иные рассуждения (даже решение прямым подбором), но приведённое решение одновременно решает пункты a) и б).
Ответ
1
