Задача 86118
|
|
 |
Условие
Числа a и b таковы, что первое уравнение системы
| { | sin x+a=bx |
| cos x=b |
имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.
Решение
По условию функция y = sin x + a - b x обращается в нуль ровно в двух точках x1 и x2, x1 < x2.
Эти точки разбивают числовую ось на 3 промежутка (-∞, x1], (x1, x2], (x2, +∞). Поскольку b ≠ 0, а |sin x| ≤ 1, то на промежутках (-∞, x1) и (x2, +∞) функция имеет разные знаки. Поэтому на некоторых двух соседних промежутках (-∞, x1), (x1, x2) или (x1, x2), (x2, +∞) функция имеет одинаковые знаки, а тогда либо точка x1, либо точка x2 является точкой экстремума и производная в ней y' = (sin x + a - b x)' =
= cos x - b обращается в нуль.
