ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86119
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Уравнения с модулями ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 100. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величина n2d, где d - разность прогрессии, а n - число ее членов?

Решение

Обозначим сумму модулей членов арифметической прогрессии через S. Покажем, что величина S/(n2d) является постоянной для прогрессий, удовлетворяющих условию задачи, и равна 1/4, если данная прогрессия a1,a2, … ,an, для определённости, возрастает (для убывающей прогрессии эта величина равна -1/4). Из условия задачи следует, что функция
S(x) = |x - a1| + |x - a2| + … + |x - an|
принимает в трёх различных точках одинаковые значения. Так как

то при xai + 1 и i < n/2 эта функция убывает, при aixai + 1 и i = n/2 - постоянна, а при xai и i > n/2 - возрастает. Следовательно, условие задачи может выполняться только, когда число n = 2k чётно и

Ответ

±400.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 68
Год 2005
вариант
Класс 11, вариант А
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .