Задача 86505

Темы:    [ Квадратные корни (прочее) ] [ Уравнения в целых числах ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите все значения а, для которых выражения   а +   и   ¹/_а –   принимают целые значения.

Решение

Пусть  a + = m,   ¹/_a – = n,  где m и n – целые числа. Тогда   (m – )(n + ) = 1  ⇔  (m – n) = 16 – mn.  Числа  16 – mn  и  m – n  являются целыми. Если  m ≠ n,  то число  ^16–mn/_m–n  рационально, значит, оно не может быть равно   .   Если  m = n,  то  16 – mn = 0,  следовательно,  m = n = ±4.

Ответ

а = ±4 – .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2000/01
класс
Класс	8
задача
Номер	4.1