|
|
 |
Условие
Расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 5 см,
а ее боковые стороны имеют длины 6 см и 8 см. Найдите расстояние между
серединами оснований.
Решение
Пусть ABCD — данная трапеция, M и K — середины диагоналей (см. рис. 1). Через точку В проведем прямую, параллельную CD, которая пересекает основание AD в точке Е. Так как BCDE — параллелограмм, то BE = CD = 8 см. Тогда
AE = AD - ED = AD - BC.
Используем, что
MK = 0, 5(AD - BC). (Этот факт можно доказать, продолжив отрезок MK, лежащий на средней линии трапеции, до пересечения с одной из боковых сторон трапеции. Если N — точка пересечения, то отрезки KN и MN являются средними линиями треугольников ABD и ABC соответственно.) По условию, MK = 5 см, значит, AE = 10 см. В треугольнике ABE длины сторон равны 6 см, 8 см и 10 см, значит,
ABE — прямоугольный с прямым углом В (по теореме, обратной теореме Пифагора). Пусть P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Вычислить длину PQ можно различными способами.
Первый способ.
Рассмотрим четырехугольник PKQM (см. рис. 2). Его противолежащие стороны PM и KQ являются средними линиями треугольников ABC и ABD соответственно, значит, PKQM — параллелограмм. Так как PM| AB,
PK| CD| BE и
АВ BE, то
PM
РK, то есть, PKQM — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, следовательно, PQ = MK = 5 см.
Второй способ.
Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке F (см. рис. 3) и используем известный факт: прямая, проходящая через середины оснований трапеции содержит точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны (его можно доказать, используя либо векторы, либо подобие треугольников, либо гомотетию). По ранее доказанному,
AFD = 900, следовательно, точки P и Q являются центрами описанных окружностей для прямоугольных треугольников BFC и AFD соответственно. Значит, QF и PF — радиусы этих окружностей, поэтому,
PQ = QF - PF = 0, 5AD - 0, 5BC = 0, 5(AD - BC) = 5 (см).
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Ответ
5 см.
