ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86506
Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ]
[ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Замечательное свойство трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 5 см, а ее боковые стороны имеют длины 6 см и 8 см. Найдите расстояние между серединами оснований.

Решение

Пусть ABCD — данная трапеция, M и K — середины диагоналей (см. рис. 1). Через точку В проведем прямую, параллельную CD, которая пересекает основание AD в точке Е. Так как BCDE — параллелограмм, то BE = CD = 8 см. Тогда AE = AD - ED = AD - BC.

Используем, что MK = 0, 5(AD - BC). (Этот факт можно доказать, продолжив отрезок MK, лежащий на средней линии трапеции, до пересечения с одной из боковых сторон трапеции. Если N — точка пересечения, то отрезки KN и MN являются средними линиями треугольников ABD и ABC соответственно.) По условию, MK = 5 см, значит, AE = 10 см. В треугольнике ABE длины сторон равны 6 см, 8 см и 10 см, значит, $ \triangle$ABE — прямоугольный с прямым углом В (по теореме, обратной теореме Пифагора). Пусть P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Вычислить длину PQ можно различными способами.

Первый способ.
Рассмотрим четырехугольник PKQM (см. рис. 2). Его противолежащие стороны PM и KQ являются средними линиями треугольников ABC и ABD соответственно, значит, PKQM — параллелограмм. Так как PM| AB, PK| CD| BE и АВ $ \perp$ BE, то PM $ \perp$ РK, то есть, PKQM — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, следовательно, PQ = MK = 5 см.

Второй способ.
Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке F (см. рис. 3) и используем известный факт: прямая, проходящая через середины оснований трапеции содержит точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны (его можно доказать, используя либо векторы, либо подобие треугольников, либо гомотетию). По ранее доказанному, $ \angle$AFD = 900, следовательно, точки P и Q являются центрами описанных окружностей для прямоугольных треугольников BFC и AFD соответственно. Значит, QF и PF — радиусы этих окружностей, поэтому, PQ = QF - PF = 0, 5AD - 0, 5BC = 0, 5(AD - BC) = 5 (см).


Рис. 1                       Рис. 2                       Рис. 3

Ответ

5 см.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2000/01
класс
Класс 8
задача
Номер 4.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .