Задача 86519

Темы:    [ Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Корни уравнения  x² + ax + 1 = b  – целые, отличные от нуля числа. Докажите, что число  a² + b²  является составным.

Решение

Запишем уравнение в стандартном виде:  x² + ax + (1 – b) = 0.  По теореме Виета  x₁ + x₂ = – a,  x₁x₂ = 1 – b,  где x₁ и x₂  – корни данного уравнения. Следовательно,     По условию каждый из множителей – натуральное число, отличное от единицы.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2000/01
класс
Класс	9
задача
Номер	4.3