ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87977
Темы:    [ Неравенства с площадями ]
[ Замощения костями домино и плитками ]
Сложность: 3
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли в квадрат со стороной 1 поместить несколько непересекающихся квадратов, сумма сторон которых равна 1992?

Подсказка

Попробуйте разделить квадрат на четыре или девять маленьких квадратиков и посмотрите, какова будет сумма периметров этих квадратиков.

Решение

Разместим внутри нашего квадрата маленькие квадратики, как показано на рисунке. Попробуем найти количество таких квадратиков и длину стороны каждого, чтобы общая сумма их периметров была равна 1992.

Обозначим число маленьких квадратиков вдоль стороны через N, а длину сторон маленьких квадратиков через A. Сумма периметров этих квадратиков будет равна 4N2A, а нам надо, чтобы эта сумма была равна 1992, т.е. 4N2A = 1992. Поскольку вдоль большого квадрата размещается N квадратиков со стороной A, то  NA $ \approx$ 1 и NA < 1. Значит, 4N > 1992 и  4N $ \approx$ 1992, т.е. N $ \approx$ 498. Взяв N = 500, A = 0, 001992, получим набор квадратиков, сумма периметров которых будет равна 0, 001992$ \Times$4$ \Times$500$ \Times$500 = 1992, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Козлова Е.Г.
Название Сказки и подсказки
задача
Номер 45

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .