Версия для печати
Убрать все задачи

---

Построить треугольник по высоте и медиане, выходящим из одной вершины, и радиусу описанного круга.

   Решение

---

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., n. За один ход разрешается поменять местами любые два числа.
Может ли после 1989 таких операций порядок чисел оказаться исходным?

   Решение

---

Квадратный лист бумаги разрезали на шесть кусков в форме выпуклых многоугольников; пять кусков затерялись, остался один кусок в форме правильного восьмиугольника (см. рисунок). Можно ли по одному этому восьмиугольнику восстановить исходный квадрат?

   Решение

Темы:    [ Замощения костями домино и плитками ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 5,6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Квадратный лист бумаги разрезали на шесть кусков в форме выпуклых многоугольников; пять кусков затерялись, остался один кусок в форме правильного восьмиугольника (см. рисунок). Можно ли по одному этому восьмиугольнику восстановить исходный квадрат?

Подсказка

Могут ли какиенибудь два многоугольника граничить друг с другом больше, чем по одной стороне?

Решение

Поскольку пропавшие пять многоугольников являются выпуклыми, то ни один из них не может иметь с восьмиугольником границу больше чем по одной стороне. А это значит, что как минимум три стороны восьмиугольника принадлежат квадрату. Это соображение позволяет однозначно восстановить размеры квадрата; длина его стороны равна расстоянию между противоположными сторонами восьмиугольника.

Интересно, что хотя мы и можем восстановить размеры квадрата, но не можем точно сказать, из каких многоугольников он состоит. Только 4 многоугольника можно восстановить  — это восьмиугольник и три угловых треугольника. А про два последних многоугольника известно только то, что они образуют четвёртый угловой треугольник. Мы даже не можем точно восстановить количество сторон каждого  — это могут быть треугольник и четырехугольник, или два треугольника (см. рисунок).

Ответ

 Да.

Источники и прецеденты использования