Задача 88293

Темы:    [ Произведения и факториалы ] [ Неравенство Коши ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Заменим в произведении 100· 101·102·...·200 все числа на 150. Увеличится или уменьшится произведение? Тот же вопрос для суммы.

Решение

  Рассмотрим произведение чисел, равноотстоящих от концов, то есть (150 + k)(150 − k) = 150² − k² < 150².  Это неравенство верно для любого натурального k от 1 до 50. Значит, заменив числа  150 − k  и  150 + k  на 150, мы увеличим произведение.
  Для суммы чисел, равноотстоящих от концов,  (150 + k) + (150 − k) = 2·150.  Значит, сумма при замене не изменится.

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	7
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	4
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер	4.3