|
Название задачи: Деревья в усадьбе. |
 |
Условие
В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями – елями, соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного – одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев, растущих через три от любого хвойного – тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько берёз посажено вокруг дома?
Подсказка
Заметьте, что услови наложено на деревья одной "чётности".
Решение
Уберём мысленно половину деревьев – посаженных через одно. Тогда останется 48 деревьев, а условие станет таким: из двух деревьев, растущих рядом с хвойным, – одно хвойное, а другое берёза, и из двух деревьев, растущих через одно от хвойного, – тоже одно хвойное, а другое берёза.
Рассмотрим одно из посаженных хвойных деревьев. Назовём его деревом 1 и занумеруем все деревья по порядку. Если дерево 1 хвойное, то из деревьев 48 и 2 – одно хвойное, другое – берёза. Будем для определенности считать, что дерево 2 – берёза, а 48 – хвойное. Рассмотрим дерево 48. Рядом с ним – дерево 1 (хвойное) и 47 (значит, 47 – берёза). Через одно дерево от 1 – 47 (берёза) и 3 (значит, 3 – хвойное). У дерева 3 два соседа – 2 (берёза) и 4 (хвойное). Теперь ясно, что все время повторяется группа из трёх деревьев – БХХ – берёза и два хвойных. Всего деревьев 48, значит, эта группа повторится 16 раз.
Аналогично вычисляется число берёз в оставшейся половине деревьев – их тоже 16. Итак, вокруг замка посажено 32 берёзы.
Ответ
32 берёзы.
