|
|
 |
Условие
а) Доказать, что для любых положительных чисел x1, x2, ..., xk (k > 3) выполняется неравенство:
б) Доказать, что это неравенство ни для какого k > 3 нельзя усилить, то есть доказать, что для каждого фиксированного k нельзя заменить двойку в правой части на большее число так, чтобы полученное неравенство было справедливо для любого набора из k положительных чисел.
Решение
а) Применим метод математической индукции. Проверим неравенство для k = 4:
Предположим, что для некоторого k ≥ 4 неравенство доказано. Рассмотрим k + 1 положительных чисел x1, x2, ..., xk, xk+1. Левая часть не меняется при циклической перестановке индексов, поэтому можно считать, что xk+1 – наименьшее из всех чисел. Имеем:
б) Положим, x1 = x2 = 1, xi = εi–2 (i = 3, ..., k), где ε – "достаточно малое" положительное число. Тогда первые два слагаемых меньше 1, каждое из
k – 2 остальных слагаемых меньше ε. Таким образом, левая часть меньше чем 2 + (k – 2)ε, то есть может быть сколь угодно близка к 2.
Замечания
1. В журнале "Квант" был добавлен еще один пункт – доказательство этого неравенства для k = 3.
2. Баллы: 4 + 3.
