ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97786
Тема:    [ Комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Мерков А.

В колоде 36 карт, разложенных в таком порядке, что масти периодически чередуются в последовательности: пики, трефы, червы, бубны, пики, трефы, червы, бубны, и т. д. С колоды сняли часть, перевернули её как целое и врезали в оставшуюся. После этого карты снимают по четыре. Доказать, что в каждой четвёрке все масти разные.


Решение 1

  Пусть мы сняли с колоды одну карту. Теперь масти чередуются, начиная с трефы. Куда бы мы ни вставили пику, снятую сверху, выше места вставки масти будут чередоваться, начиная с трефы, а ниже четверки, куда вставлена карта, – как и вначале, начиная с пики. А значит, и в той четвёрке, куда вставлена карта, все масти тоже различны.
  Очевидно, что снять с колоды несколько карт, перевернуть и врезать — все равно что снимать по одной карте и вставлять выше последней вставленной карты, но ниже последней карты, которую мы собираемся снять. При этой операции в нижней части колоды (ниже места вставки) порядок карт не изменится, а в верхней произойдёт то же, что при снятии самой первой карты. Значит, после каждой операции условие задачи выполняется.


Решение 2

  Разобьём карты на три группы: первая группа вставляется между второй и третьей. Заменим масти цифрами так, чтобы вторая часть начиналась с 1234 (если в 1-й части больше 32 карт, то она – при исходном расположении – должна кончаться на 1234).
  Предположим, что образовались плохие четвёрки: не все масти в них разные. Таких четвёрок не меньше двух (так как во всей колоде карт каждой масти поровну). Но их и не больше двух: на стыке второй и первой части и на стыке второй и третьей. Значит, эти четвёрки разные. Рассмотрим первую из них. Пусть какая-то цифра a встретилась дважды. Но тогда в этой четвёрке есть все цифры, меньшие a, (в "срезе" четвёрки из второй части), и все цифры, большие a, (в "срезе" четвёрки из первой части). Значит, в "четверке" больше четырёх цифр. Противоречие.

Замечания

1. 12 баллов.

Ср. с задачей М822 из Задачника «Кванта».

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1982/1983
Номер 4
вариант
Вариант первый тур, 7-8 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .