Задача 97801

Тема:    [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Фольклор

Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника, один из острых углов которого равен 30°. Из этого угла по медиане противоположной стороны выпущен шар (материальная точка). Доказать, что после восьми отражений (угол падения равен углу отражения) он попадёт в лузу, находящуюся в вершине угла 60°.

Решение

Рассмотрим параллелограмм AKLM, составленный из шести правильных треугольников (см. рис.).

Диагональ AL проходит через середину отрезка PQ (APLQ – тоже параллелограмм), а значит, и через середину BC. Поэтому AL – развертка пути шара на бильярде ABC. (Жирно обведены треугольники, являющиеся отражениями бильярда.) Как видно из рисунка, количество отражений (пересечений развертки со сторонами треугольников-отражений) равно 8.

Замечания

1. Задача предлагалась в "легком" варианте второго тура.

2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1982/1983
Номер	4
вариант
Вариант	второй тур, 7-8 класс
Задача
Номер	5