Задача 97862

Тема:    [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу).
Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.

Решение

В каждый момент два кузнечика меняют свое "взаимное положение" (если до прыжка слева был один, справа другой, то после прыжка – наоборот). Чтобы вернуться на свои места, каждые два кузнечика должны поменять взаимное положение чётное число раз. Но сумма трёх чётных чисел не может равняться 1985.

Замечания

1. Задача предлагалась также на 51-й Ленинградской математической олимпиаде (1985, 6 кл., зад. 5).

2. 7-8 кл. – 5 баллов, 9-10 кл. – 4 балла.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	2
Название	Четность
Тема	Четность и нечетность
задача
Номер	030
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1984/1985
Номер	6
вариант
Вариант	весенний тур, подготовительный вариант, 9-10 класс
Задача
Номер	4
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1984/1985
Номер	6
вариант
Вариант	весенний тур, подготовительный вариант, 7-8 класс
Задача
Номер	4
книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	1
Название	Четность
Тема	Четность и нечетность
задача
Номер	20
web-сайт
задача