Задача 97880

Темы:    [ Симметричная стратегия ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9 Название задачи: Игра "кошки-мышки".

Условие

Автор: Сосинский А.Б.

Кошка ловит мышку в лабиринтах А, Б, В. Кошка ходит первой, начиная с узла, отмеченного буквой "К". Затем ходит мышка (из узла "М"), затем опять кошка и т. д. Из любого узла кошка и мышка ходят в любой соседний узел. Если в какой-то момент кошка и мышка оказываются в одном узле, кошка ест мышку. Сможет ли кошка поймать мышку в каждом из случаев А, Б, В?

Решение

  В случаях А, В мышке достаточно каждый раз ходить в узел, центрально-симметричный узлу, на котором находится кошка.

  (Для случая А всё ещё проще. При шахматной раскраске узлов кошка после своего хода всегда находится в узле цвета, противоположного цвету "мышкиного" узла. Поэтому она не может съесть мышку своим ходом. Мышка же ни в каком положении не обязана "бросаться в пасть" к кошке.)

  В случае Б также рассмотрим шахматную раскраску узлов (см. рис.). Сначала кошка идет в узел М. Если мышка за это время "пройдёт" по диагональному отрезку, то кошка ловит её следующим ходом.

  В противном случае, кошка сама проходит по диагонали и возвращается в М. Если мышка ещё не съедена, она в этот момент стоит в чёрном узле и должна пойти в белый. Но белых узлов, не "атакованных" кошкой, в этот момент только четыре. Два их них угловые, если мышка встанет в один из них, кошка "зажимает" её в этом углу и съедает следующим ходом. В противном случае кошка делает ход по направлению к мышке, и мышка вынуждена отступить в чёрный угол, где кошка зажмёт её следующим ходом.

Ответ

В лабиринтах А и В не сможет, а в Б сможет.

Замечания

баллы: 1 + 3 + 1

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	7
Дата	1985/1986
вариант
Вариант	осенний тур, 7-8 класс
Задача
Номер	2