Задача 97886

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Дан выпуклый четырёхугольник и точка M внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки M до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.

Решение

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Без ограничения общности можно считать, что M лежит в треугольнике BOC. Пусть прямая CM пересекает сторону AB в точке Q.

Согласно неравенству треугольника:
 MB + MC ≤ BP + PM + MC = BP + PC ≤ BP + PO + OC = OB + OC,  что меньше суммы диагоналей;
  MA + MD < AQ + QM + MC + CD = AQ + QC + CD < AQ + QB + BC + CD = AB + BC + CD,  то есть меньше периметра четырёхугольника.
Сложив, получим доказываемое неравенство.

Замечания

1. Оба доказанных нами неравенства – частные случаи задачи 57332) б).

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	9
Название	Четырехугольник
Тема	Четырехугольник (неравенства)
задача
Номер	09.069
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	7
Дата	1985/1986
вариант
Вариант	осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер	1