|
|
 |
Условие
20 футбольных команд проводят первенство. В первый день все команды сыграли по одной игре. Во второй также все команды сыграли по одной игре.
Докажите, что после второго дня можно указать такие 10 команд, что никакие две из них не играли друг с другом.
Решение
Рассмотрим граф, вершины которого соответствуют командам, а рёбра соединяют команды, сыгравшие между собой в первых двух турах. Все вершины имеют степень 2. Следовательно, граф разбивается на циклы. Каждый цикл состоит из чётного числа вершин, поскольку рёбра, соответствующие играм первого и второго дня чередуются. Из каждого цикла возьмём половину вершин – через одну. Это и будут 10 не игравших друг с другом команд.
Замечания
1. 7-8 кл. – 6 баллов, 9-10 кл. – 4 балла.
2. Общий случай (который практически не отличается от разобранного) см. в задаче 64514.
