Задача 98025
|
|
 |
Условие
Найти число решений в натуральных числах уравнения [x/10] = [x/11] + 1.
Решение 1
Пусть x = 11n + r, где n ≥ 0, 0 ≤ r ≤ 10. Тогда [x/11] = n, n + 1 = [x/10] = n + [n+r/10], то есть 10 ≤ n + r < 20, 10 – r ≤ n ≤ 19 – r. Для каждого r от 0 до 10 получаем 10 решений.
Решение 2
Если x ≥ 220, то x/10 ≥ 2 + x/11, поэтому и целые части чисел x/10 и x/11 отличаются по меньшей мере на 2. Если же x < 220, то эти целые части отличаются не больше чем на 2. Заметим, что если [x/10] = [x/11] + a, то [x+110/10] = [x+110/11] + a + 1. Отсюда следует, что ровно одно число из пары
{x, x + 110} (x < 110) является решением нашего уравнения. Таким образом, решений у него ровно 220 : 2 = 110.
Ответ
110 решений.
Замечания
3 балла
