На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость xOy графики 100 квадратных трехчлёнов вида
y = a_nx² + b_nx + c_n  (n = 1, 2, ..., 100)?

   Решение

Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Индукция в геометрии ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость xOy графики 100 квадратных трехчлёнов вида
y = a_nx² + b_nx + c_n  (n = 1, 2, ..., 100)?

Решение

  Докажем по индукции, что n парабол указанного вида могут разбить плоскость не более чем на  n² + 1  часть.
   База. Одна парабола разбивает плоскость на  2 = 1² + 1  части.
  Шаг индукции. n-я парабола пересекается с каждой из остальных не более, чем в двух точках. Эти точки пересечения, а их  m ≤ 2n – 2,  разбивают её на  m + 1  кусок. Каждый такой кусок разбивает одну из "старых" частей плоскости на две, то есть количество частей увеличивается не более чем на  2n – 1.  В силу индуктивного предположения, число частей разбиения n параболами не превосходит  2n – 1 + (n – 1)² + 1 = n² + 1.
  Построим теперь разбиение плоскости 100 параболами  100²+ 1  часть. Рассмотрим параболы  y = a_nx² – n.  При этом возьмём  a₁ = 1,
а остальные  a_n > 0  будем строить индуктивно так, чтобы модуль абсцисс точек пересечения n-й параболы с осью Ox был меньше, чем модули абсцисс точек пересечения всех предыдущих парабол между собой и с осью абсцисс. Тогда, очевидно, каждые две параболы пересекаются в двух точках ниже оси абсцисс и никакие три не пересекаются в одной точке. Из предыдущих рассуждений следует, что число частей разбиения будет максимальным.

Ответ

На 10001 часть.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования