|
|
 |
Условие
a, b, c – натуральные числа, НОД(a, b, c) = 1 и Докажите, что a – b – точный квадрат.
Решение 1
Пусть p – простой делитель числа a – b. Тогда p является делителем a или b, так как c – b – натуральное число. Но a = b + (a – b), поэтому p делит и a и b. Значит, c не делится на p.
Пусть в разложение числа a на простые множители p входит в степени k, а в разложение b – в степени l (k, l – натуральные числа). Если, k > l, то разложение
a – b содержит pl, а разложение c – pk+l–l = pk. Противоречие.
Случай k < l рассматривается аналогично. Следовательно, k = l и p входит в разложение a – b в той же степени, что и в ab, то есть в степени 2k.
Итак, каждый простой делитель числа a – b входит в разложение a – b на простые множители в чётной степени, откуда и следует, что a – b – точный квадрат (a – b > 0, так как c > 0).
Решение 2
Пусть НОД(a, b) = d, a = dx, b = dy. Поскольку ab = ac – bc, то dxy = cx – cy. Значит, cy делится на x. Так как x и y взаимно просты, c делится на x. Аналогично c делится на y.
Следовательно, c делится на xy, т.е. c = xyk. По условию d и c взаимно просты, тем более d и k взаимно просты. Но d = k(x – y), значит, k = 1,
a – b = dx – dy = d².
Замечания
3 балла
