|
|
 |
Условие
Есть три кучи камней. Разрешается к любой из них добавить столько камней, сколько есть в двух других кучах, или из любой кучи выбросить столько камней, сколько есть в двух других кучах. Например: (12, 3, 5) → (12, 20, 5) (или (4, 3, 5)). Можно ли, начав с куч 1993, 199 и 19, сделать одну из куч пустой?
Решение
В каждой из исходных куч нечётное число камней. Нетрудно убедиться, что разрешённые операции сохраняют это свойство, и число камней в каждой из куч остаётся нечётным. Поэтому пустой ни одна из куч стать не может.Ответ
Нельзя.
Замечания
1. 4 балла.
1. Задача станет значительно интереснее, если в третьей куче изначально будет не 19, а 18 камней. Вот конспект её решения.
Если начать выбрасывать камни, то придётся сначала несколько раз выбросить из первой кучи по 217 камней, пока не получится набор (40, 199, 18); затем мы придём к набору (40, 25, 18), из которого уже ничего не вычтешь. Не удастся поправить положение, добавляя в одну из куч камни (в тот или иной момент)? В самом деле, если после добавления, например, в первую кучу мы затем производим выбрасывание, то выбрасывать придётся непременно из той же первой кучи, то есть мы вернёмся к исходному положению. Точно так же, если сделать несколько прибавлений, а уж затем – выбрасывания, легко убедиться, что и здесь придётся "идти обратно по уже пройденному пути".
