ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98218
Темы:    [ Симметричная стратегия ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеется шоколадка с пятью продольными и восемью поперечными углублениями, по которым её можно ломать (всего получается  9·6 = 54  дольки). Играют двое, ходят по очереди. Играющий за свой ход отламывает от шоколадки полоску ширины 1 и съедает её. Другой играющий за свой ход делает то же самое с оставшейся частью, и т. д. Тот, кто разламывает полоску ширины 2 на две полоски ширины 1, съедает одну из них, а другую съедает его партнер. Докажите, что начинающий игру может действовать таким образом, что ему достанется по крайней мере на 6 долек больше, чем второму.


Решение

Первый сначала отламывает полоску 1×6 и съедает её. Остаётся шоколадка с чётным числом продольных и поперечных полосок. Дальнейшие ходы первого повторяют ходы второго: он отламывает полоски в том же направлении, что и второй. Тогда после хода второго в одном из направлений остаётся нечётное число полосок, а после хода первого – в обоих направлениях чётное. При этом первый съедает столько же, сколько и второй. Игра заканчивается, когда второй разламывает полоску ширины 2 на две равные дольки, которые достаются играющим, так что они опять съедают поровну. А в целом первый съедает ровно на шесть долек больше.

Замечания

1. 4 балла.

2. См. также задачу 74569.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 15
Дата 1993/1994
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .