Задача 98226

Темы:    [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Соображения непрерывности ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Перестройки ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Условие

Автор: Произволов В.В.

Рассматривается произвольный многоугольник (возможно, невыпуклый).
  а) Всегда ли найдётся хорда этого многоугольника, которая делит его площадь пополам?
  б) Докажите, что найдётся такая хорда, что площадь каждой из частей, на которые она разбивает многоугольник, не меньше чем ⅓ площади всего многоугольника.

  в) Можно ли в пункте б) заменить число ⅓ на большее?
(Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур).

Решение

См. задачу 107764.

Ответ

а) Не всегда.   в) Нельзя.

Замечания

баллы: 3 + 3 + 2

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	15
Дата	1993/1994
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	7