|
|
 |
Условие
Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку
(если A прыгает через B в точку A1, то AB = BA1). Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.
Решение
Пусть кузнечики сидят на координатной оси в точках –1, 0, 1. Заметим, что в результате каждого прыжка координата кузнечика остаётся целой. Кроме того, кузнечик при прыжке перемещается всегда на чётное расстояние. Отсюда следует, что если координата кузнечика вначале была чётной, то она и всегда останется чётной. Следовательно, через некоторое время средний кузнечик вернулся на своё начальное место – в точку 0.
Замечания
3 балла
