ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98264
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Сферы (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Рубин А.

Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)

 

Решение

Рассмотрим сферу с уравнением  (x)² + y² + z² = 2.  Точка O с координатами  (0, 0, 0)  – рациональная точка, лежащая на этой сфере. Допустим что на сфере есть другая рациональная точка  (x, y, z).  x ≠ 0,  так как при  x = 0  имеется единственное решение  (0, 0, 0).  Раскроем скобки:
x² – 2x + 2 + y² + z² = 2  или     Противоречие.


Ответ

Существует.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 16
Дата 1994/1995
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .