ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98265
Темы:    [ Раскраски ]
[ Призма (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При каких n можно раскрасить в три цвета все ребра n-угольной призмы (основания – n-угольники) так, что в каждой вершине сходятся все три цвета и у каждой грани (включая основания) есть стороны всех трёх цветов?

 

Решение

  Пусть призма покрашена требуемым образом; тогда в основании есть три ребра всех трёх цветов, идущие подряд (иначе основание раскрашено с периодом 2 в два цвета). Рассмотрим такую тройку и занумеруем цвета в ней против часовой стрелке. Несложно проверить, что раскраска этого участка однозначно определяет раскраску участка, находящегося над ним, соответствующих боковых рёбер и следующих рёбер основания (см. рис).

  Мы видим, что следующее против часовой стрелке ребро основания имеет цвет 1. Повторяя рассуждение, получаем, что следующее ребро основания имеет цвет 2, и т.д. Таким образом, нижняя грань окажется покрашенной с периодом 3. Следовательно, n кратно 3.
  С другой стороны, при n, кратном 3, раскраска с периодом 3, приведённая на рисунке, удовлетворяет условию.


Ответ

При n, кратных 3.

Замечания

1. 4 балла.

2. Ср. с задачей 98469.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 16
Дата 1994/1995
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .