Задача 98265

Темы:    [ Раскраски ] [ Призма (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

При каких n можно раскрасить в три цвета все ребра n-угольной призмы (основания – n-угольники) так, что в каждой вершине сходятся все три цвета и у каждой грани (включая основания) есть стороны всех трёх цветов?

 

Решение

  Пусть призма покрашена требуемым образом; тогда в основании есть три ребра всех трёх цветов, идущие подряд (иначе основание раскрашено с периодом 2 в два цвета). Рассмотрим такую тройку и занумеруем цвета в ней против часовой стрелке. Несложно проверить, что раскраска этого участка однозначно определяет раскраску участка, находящегося над ним, соответствующих боковых рёбер и следующих рёбер основания (см. рис).

  Мы видим, что следующее против часовой стрелке ребро основания имеет цвет 1. Повторяя рассуждение, получаем, что следующее ребро основания имеет цвет 2, и т.д. Таким образом, нижняя грань окажется покрашенной с периодом 3. Следовательно, n кратно 3.
  С другой стороны, при n, кратном 3, раскраска с периодом 3, приведённая на рисунке, удовлетворяет условию.

Ответ

При n, кратных 3.

Замечания

1. 4 балла.

2. Ср. с задачей 98469.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	16
Дата	1994/1995
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2