|
|
 |
Условие
Существуют ли такие
а) 4 различных натуральных числа;
б) 5 различных натуральных чисел;
в) 5 различных целых чисел;
г) 6 различных целых чисел,
что сумма каждых трёх из них – простое число?
Решение
а) Пример такой четвёрки чисел: 1, 3, 7, 9. Из этих чисел можно образовать четыре тройки; их суммы – 11, 13, 17 и 19.
Еще один пример, в котором сами исходные числа – тоже простые: 7, 13, 23, 53.
б) Среди любых пяти целых чисел либо найдутся три, дающих одинаковые остатки при делении на 3, либо найдутся три, дающих попарно различные остатки при делении на 3. В любом случае их сумма делится на 3 и больше 3.
в) Два примера.
1) –9, –3, 15, 25, 31; соответствующие суммы: 3, 13, 19, 31, 37, 47, 37, 43, 53, 71.
2) –11, –5, 19, 23, 29; соответствующие суммы: 3, 7, 31, 37, 13, 37, 41, 43, 47, 71.
г) Заметим, что если a1 < ... < a6, то a1 + a2 + a3 и a1 + a2 + a4 – две наименьшие из сумм троек чисел. Значит, каждая из остальных сумм больше 3.
Рассмотрим теперь остатки от деления на 3 сумм троек из чисел a2, a3, ..., a6. Сумма некоторых трёх из этих чисел кратна 3 (см. б)). Так как эта сумма больше 3, то она – составное число.
Ответ
а), в) Существуют; б), г) не существуют.
