ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98281
Темы:    [ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие
  а) 4 различных натуральных числа;
  б) 5 различных натуральных чисел;
  в) 5 различных целых чисел;
  г) 6 различных целых чисел,
что сумма каждых трёх из них – простое число?


Решение

  а) Пример такой четвёрки чисел: 1, 3, 7, 9. Из этих чисел можно образовать четыре тройки; их суммы – 11, 13, 17 и 19.
  Еще один пример, в котором сами исходные числа – тоже простые: 7, 13, 23, 53.

  б) Среди любых пяти целых чисел либо найдутся три, дающих одинаковые остатки при делении на 3, либо найдутся три, дающих попарно различные остатки при делении на 3. В любом случае их сумма делится на 3 и больше 3.

  в) Два примера.
  1) –9, –3, 15, 25, 31; соответствующие суммы: 3, 13, 19, 31, 37, 47, 37, 43, 53, 71.
  2) –11, –5, 19, 23, 29; соответствующие суммы: 3, 7, 31, 37, 13, 37, 41, 43, 47, 71.

  г) Заметим, что если  a1 < ... < a6,  то  a1 + a2 + a3  и  a1 + a2 + a4  – две наименьшие из сумм троек чисел. Значит, каждая из остальных сумм больше 3.
  Рассмотрим теперь остатки от деления на 3 сумм троек из чисел a2, a3, ..., a6. Сумма некоторых трёх из этих чисел кратна 3 (см. б)). Так как эта сумма больше 3, то она – составное число.


Ответ

а), в) Существуют; б), г) не существуют.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1996
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М1532

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .