ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98284
Темы:    [ Экстремальные свойства (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны три точки A, B, C. Через точку C проведите прямую так, чтобы произведение расстояний от этой прямой до A и B было максимальным. Всегда ли такая прямая единственна?


Решение

  Если точка C лежит на прямой , то искомая прямая, очевидно, перпендикулярна АВ.
  Пусть C не лежит на . Можно считать, что  CA = CВ  (сдвиг точки A по лучу CA умножает все произведения на одно и то же число). Проведём через точку C прямую, пересекающую отрезок в точке K. Произведение расстояний не превосходит
AK·KB ≤ ¼ (AK + KB)² = ½ AB²,  причём неравенство превращается в равенство, когда K – середина AB (в этом случае оба расстояния равны ½ AB).
  Для прямых, проходящих через и не пересекающих , точно также доказывается, что максимум произведения расстояний равен ¼ AD², где D – точка, симметричная B относительно C. Заметим, что  AB < AD  тогда и только тогда, когда угол ACВ – острый.
  Итак, искомая прямая – биссектриса угла ACВ, если он тупой, и перпендикуляр к ней, если он острый. Если угол ACВ – прямой, то годятся обе эти прямые.


Ответ

Решение не единственно в случае, когда угол ACB – прямой.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1996
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М1533
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1995/1996
Номер 17
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .