|
|
 |
Условие
Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия
а) из 11,
б) из 10000,
в) из бесконечного числа натуральных чисел,
такая что последовательность сумм цифр её членов – также возрастающая
арифметическая прогрессия?
Решение
а) Пример такой прогрессии: 11121314151617181920 (подряд выписано 10 двузначных чисел от 11 до 20), 12131415161718192021, 13141516171819202122, 14151617181920212223, 15161718192021222324, 16171819202122232425, 17181920212223242526, 18192021222324252627, 19202122232425262728, 20212223242526272829, 21222324252627282930. Разность прогрессии 19-значное число 10101...01. При добавлении d происходит циклическая перестановка пар цифр и, сверх того, первое двузначное число не просто переходит на последнее место, но к нему еще прибавляется 10 (то есть сумма цифр возрастает на 1).
Нетрудно проверить, что даже не 11, а 80 первых членов этой прогрессии удовлетворяют требованию.
б) Вот пример такой прогрессии. Разность прогрессии d – число из 49996 знаков, в котором на первом, шестом, одиннадцатом и т.д. местах стоят единицы, остальные – нули: d = 100001000010000...100001. Начальный член прогрессии a0 содержит 49991 знак, но нам удобнее записывать это число, начиная с девяти нулей (таким образом, получается 50000 знаков). Напишем последовательные 10000 целых чисел, начиная с нуля (причём к каждому из первых 1000 чисел припишем слева один, два или три нуля, чтобы все числа были четырёхзначными), и запишем эти числа одно за другим, разделяя соседей одним нулём: a0 = 00000 00001 00002 ... 09998 09999.
При прибавлении d к a0 первая слева пятёрка цифр превращается во вторую, вторая – в третью, ..., 9999-я – в 10000-ю, а последняя пятёрка – она равна 09999 – превращается в 10000: 00001 00002 00003 ...09999 10000.
Итак, произошёл циклический сдвиг последовательности пятёрок с единственным исключением: левая пятёрка не просто переместилась на самое правое место, но в её левом разряде добавилась единица. Отсюда ясно, что сумма цифр увеличилась на 1. Аналогично при прибавлении d к an, если n < 9999, происходит циклический сдвиг последовательности пятёрок, аналогичный описанному. (В последних пятёрках в левых разрядах стоит единица, при этом она продвигается каждый раз на одну пятёрку влево.)
в) Пусть {a0 + nd} – возрастающая арифметическая прогрессия натуральных чисел, {S(a0 + nd)} – последовательность сумм цифр её членов, m – число знаков в десятичной записи a0. Рассмотрим член нашей прогрессии a0 + 10md. При сложении чисел a0 и 10md все цифры чисел a0 и d сохраняются, так как цифры a0 при сложении в столбик приходятся на нули числа 10md. Поэтому S(a0 + 10md) = S(a0) + S(d). Но и S(a0 + 10m+pd) = S(a0) + S(d), где p – любое натуральное число. Таким образом, во второй последовательности есть совпадающие члены, так что она не может быть арифметической прогрессией.
Ответ
а), б) Существует, в) не существует.
Замечания
1. Баллы: 3 + 4 + 2.
1. В Задачнике «Кванта» в п. б) 10000 было заменено на 1000.
2. К решению задачи в) можно прийти и из общих соображений: скорость роста арифметической прогрессии – линейная, а скорость роста числа цифр членов арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, – логарифмическая, а значит, последовательность сумм цифр не может быть арифметической прогрессией.
