ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98307
Темы:    [ Параллельность прямых и плоскостей ]
[ Уравнение плоскости ]
[ Куб ]
[ Скалярное произведение ]
[ Двоичная система счисления ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?


Решение

 Рассмотрим куб, вершины которого имеют декартовы координаты  (0, 0, 0),  (0, 0, 1),  (0, 1, 0),  ...,  (1, 1, 1)  – всего восемь троек. Если каждую такую тройку записать подряд, выбросив из записи запятые, и прочитать эти тройки как двоичные числа, то получится ряд чисел: 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7; при этом тройке  (x, y, z) нулей и единиц соответствует число  4x + 2y + z,  то есть скалярное произведение вектора  v = (4, 2, 1)  на вектор  (x, y, z).
  Проведём через начало координат плоскость П, перпендикулярную вектору v. Вспомнив, что скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию на него другого вектора, видим, что проекции вершин куба на прямую, содержащую вектор v, находятся от начала координат (а значит, вершины куба – от плоскости П) на расстояниях, пропорциональных числам 0, 1, 2, ..., 7. Чтобы получить искомый куб, нужно наш куб подвергнуть гомотетии с центром в начале координат с соответствующим коэффициентом.


Ответ

Существует.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1996
выпуск
Номер 4
Задача
Номер М1559
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1995/1996
Номер 17
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .